Sylabus
1. Úvod do vektorového počtu Rozdíl mezi skalárem a vektorem, polohový vektor, lineární závislost a nezávislost vektorů, složkové operace s vektory - souřadnicové soustavy v rovině a prostoru, matice a determinanty.
2. Skalární a vektorový součin dvou vektorů Definice a geometrický význam skalárního součinu. Absolutní hodnota vektoru, úhel dvou vektorů, určení složek vektoru. Aplikace skalárního součinu ve fyzice - pojem práce, vektor plochy. Definice a geometrický význam vektorového součinu. Axiální vektory, popis rotace, zavedení vektoru úhlové rychlosti.
3. Smíšený a dvojitý vektorový součin Definice a geometrický význam, pravotočivý a levotočivý systém obecných vektorů, pojem reciprokého vektoru. Shrnutí základních početních operacích s vektory.
4. Zavedení tenzorů, tenzorová algebra, symetrické a antisymetrické tenzory Transformace vektorů, definice diady, operace s diadami. Fyzikální situace vyžadující zavedení tenzorů - popis silového působení na pružné těleso, napětí, definice tenzoru. Vyjádření tenzoru pomocí jednotkových ortogonálních vektorů, tenzor identity. Rozklad tenzoru na symetrickou a antisymetrickou část, pojem konjugovaného tenzoru. Kvadratická plocha tenzoru a kovariant tenzoru.
5. Úvod do vektorové analýzy, skalární a vektorové funkce jedné proměnné Pojem vektorové funkce jedné proměnné - základní definice: limita, derivace a primitivní funkce obecné vektorové funkce.
6. Skalární a vektorové funkce vektorové proměnné Pojem funkce vektorové proměnné, skalární a vektorové pole. Parciální derivace a totální diferenciál funkcí více proměnných. Vyjádření totálního diferenciálu ve formě skalárního součinu - operátorový způsob zápisu totálního diferenciálu. Hamiltonův operátor.
7. Vlastnosti Hamiltonova operátoru Vektorové operace s Hamiltonovým operátorem - zavedení divergence, rotace a gradientu vektoru. Příklady. Operace druhého řádu. Příklady.
8. Pojem toku vektoru plochou, Gaussova věta Proudění kapaliny obecnou plochou, pole vektoru rychlosti. Naznačení odvození Gaussovy věty.
9. Pojem rotace vektoru podél křivky, Stokesova věta Práce síly v gravitačním poli. Fyzikální objasnění původu názvu rotace vektoru. Potenciálové a nepotenciálové pole. Naznačení odvození Stokesovy věty.
10. Použití aparátu vektorové analýzy ve fyzikálních situacích Formulace Maxwellových rovnic v integrálním tvaru, převedení do diferenciálního tvaru. Odvození vlnové rovnice pro rovinnou elektromagnetickou vlnu, vzájemné vztahy mezi vektory E a B a vektorem směru šíření elmg vlny.
Anotace
Opakování základních pojmů a operací vektorového počtu, procvičení aparátu vektorové algebry na příkladech s fyzikální tématikou. Zavedení tenzorů v třírozměrném prostoru, základní vlastnosti a operace s tenzory.
Skalární a vektorové funkce. Úvod do vektorové analýzy, Hamiltonův nabla operátor. Pojem gradientu, divergence a rotace vektoru, fyzikální význam zavedených veličin.
Gaussova věta intergrálního počtu a Stokesova věta, aplikace pro Maxwellovy rovnice.