Sylabus
* Úvod a motivace
Užitečnost alternativních formulací téhož problému ve fyzice. Ilustrace na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla -> Poissonova rovnice (pole potenciálu) -> Einsteinova rovnice (pole metriky, obecná teorie relativity). Teoretická mechanika jakožto vyslovování Newtonových pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. Zopakování základních pojmů mechaniky, Newtonových pohybových zákonů a bude-li čas i mezí platnosti mechaniky klasické (mechanika relativistická a kvantová).
* Lagrangeovský formalizmus a Lagrangeovy rovnice
Zobecněné souřadnice aneb nepoužívejme jen (x,y,z). Occamova břitva aneb nepoužívejme více souřadnic, než kolik je nezbytně nutno. Konfigurační prostor: Zénónův paradox šípu a nezávislost zobecněných rychlostí na zobecněných souřadnicích. Odvození Lagrangeových rovnic II.druhu. Lagrangeova funkce L: případ bez potenciálu, s potenciálem, se zobecněným potenciálem (pohyb částice v elektromagnetickém poli). Ilustrace: pohyb částice v poli centrální síly. Hledání integrálů pohybu (cyklické souřadnice -> zachování zobecněných hybností, explicitní nezávislost L na čase -> zachování zobecněné energie). Ilustrace: Binetův vzorec pro pohyb v centrálním poli.
* Pohyb planet a další aplikace
Keplerova úloha neboli obíhání planet v gravitačním poli Slunce. Odvození Keplerových zákonů. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky: pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, stáčení perihélia. Převedení problému dvou těles na pohyb částice s redukovanou hmotností v poli centrální síly. Problém 3 těles a nebeská mechanika, několik slov o chaosu. Rozptyl částic, efektivní průřez a Rutherfordův vztah.
* Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky
Zobecněná hybnost neboli kanonicky sdružený impuls. Zavedení fázového prostoru s ukázkami různých pohybů (oscilátor, tlumení, chaos). Hamiltonova funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic. Ilustrace kanonických rovnic (harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli). Význam Hamiltonova formalismu pro kvantovou teorii (Schrödingerova rovnice, Feynmanovy diagramy jakožto rozvoj interakčního hamiltoniánu) a statistickou fyziku (partiční funkce). Definice, základní vlastnosti a algebra Poissonových závorek. Analogie s komutátory v kvantové mechanice.
* Mechanika tuhého tělesa
Opakování vektorů a tenzorů v Euklidovském prostoru. Grupa konečných rotací a algebra infinitesimálních rotací. Zavedení vektoru úhlové rychlosti. Otáčení tělesa kolem pevné osy, tenzor setrvačnosti. Vlastní čísla a vektory včetně interpretace elipsoidu setrvačnosti. Kinetická energie rotačního pohybu. Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Eulerovy dynamické rovnice. Ukázkové příklady: analýza pohybu symetrického bezsilového setrvačníku.
* Rovnice struny a její řešení
Přechod od soustavy hmotných bodů ke spojitému prostředí. Ilustrace: podélné kmity soustavy a příčné kmity struny. Vlnová rovnice a základní metody jejího řešení: a) d'Alembertova metoda, b) separace proměnných (vlastní frekvence, okrajové a počáteční podmínky, Fourierova analýza).
* Základy relativistické mechaniky
Anotace
Klasická mechanika hmotného bodu v Lagrangeově a Hamiltonově formalizmu. Kinematika a dynamika tuhého tělesa (tenzor setrvačnosti, Eulerovy úhly a rovnice). Kmity struny a řešení vlnové rovnice. Základy relativistické mechaniky. Hlavní body sylabu:
1. Úvod a motivace
2. Lagrangeovský formalizmus a Lagrangeovy rovnice
3. Pohyb planet a další aplikace
4. Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky
5. Mechanika tuhého tělesa
6. Rovnice struny a její řešení
7. Základy relativistické mechaniky.