Sylabus
1. Úvod do vektorového počtu. Rozdíl mezi skalárem a vektorem, polohový vektor, lineární závislost a nezávislost vektorů, složkové operace s vektory - souřadnicové soustavy v rovině a prostoru, matice a determinanty.
2. Skalární a vektorový součin dvou vektorů. Definice a geometrický význam skalárního součinu. Absolutní hodnota vektoru, úhel dvou vektorů, určení složek vektoru. Aplikace skalárního součinu ve fyzice - pojem práce, vektor plochy. Definice a geometrický význam vektorového součinu. Axiální vektory, popis rotace, zavedení vektoru úhlové rychlosti.
3. Smíšený a dvojitý vektorový součin. Definice a geometrický význam, pravotočivý a levotočivý systém obecných vektorů, pojem reciprokého vektoru. Shrnutí základních početních operacích s vektory.
4. Zavedení tenzoru, tenzorová algebra, symetrické a antisymetrické tenzory. Transformace vektorů, definice diady, operace s diadami. Fyzikální situace vyžadující zavedení tenzoru - popis silového pusobení na pružné teleso, napětí v pevných látkách. Definice tenzoru. Vyjádrení tenzoru pomocí jednotkových ortogonálních vektorů, tenzor identity. Rozklad tenzoru na symetrickou a antisymetrickou cást, pojem konjugovaného tenzoru. Kvadratická plocha tenzoru a kovariant tenzoru.
5. Úvod do vektorové analýzy, skalární a vektorové funkce jedné proměnné. Pojem vektorové funkce jedné proměnné - základní definice: limita, derivace a primitivní funkce obecné vektorové funkce.
6. Skalární a vektorové funkce vektorové proměnné. Pojem funkce vektorové proměnné, skalární a vektorové pole. Parciální derivace a totální diferenciál funkcí více proměnných. Vyjádření totálního diferenciálu ve formě skalárního součinu - operátorový způsob zápisu totálního diferenciálu. Hamiltonův operátor.
7. Vlastnosti Hamiltonova operátoru Vektorové operace s Hamiltonovým operátorem - zavedení divergence, rotace a gradientu vektoru. Příklady. Operace druhého řádu. Příklady.
8. Pojem toku vektoru plochou, Gaussova věta. Proudění kapaliny obecnou plochou, pole vektoru rychlosti. Naznačení odvození Gaussovy věty.
9. Pojem rotace vektoru podél kčivky, Stokesova veta. Práce síly v gravitačním poli. Fyzikální objasnení původu názvu rotace vektoru. Potenciálové a nepotenciálové pole. Naznačení odvození Stokesovy věty.
10. Použití aparátu vektorové analýzy ve fyzikálních situacích. Formulace Maxwellových rovnic v integrálním tvaru, prevedení do diferenciálního tvaru. Odvození vlnové rovnice pro rovinnou elektromagnetickou vlnu, vzájemné vztahy mezi vektory E a B a vektorem směru šírení elektormagnetické vlny.
Anotace
Opakování základních pojmu a operací vektorového poctu, prohloubení aparátu vektorové algebry na príkladech s fyzikální tématikou. Zavedení tenzoru v trírozmerném prostoru, základní vlastnosti a operace s tenzory.
Skalární a vektorové funkce. Úvod do vektorové analýzy, Hamiltonuv nabla operátor. Pojem divergence a rotace vektoru, príklady použití ve fyzice.