Sylabus
1. Reálná data v reálných počítačích: Kódování celých a reálných čísel (formát IEEE). Chyby, jejich klasifikace, zdroje a šíření.
2. Úvod k Fortranu 95: Syntaktické prvky, popisy, příkazy. Pole, sekce polí, standardní funkce pro práci s poli. Programové jednotky a členění zdrojového textu. Paralelizace. Příklad: tabelování modelů Země.
3. Knihovny numerických metod: Numerical Recipes, LAPACK, MKL, IMSL, NAG. Orientace v knihovnách, vřazování knihovních procedur do zdrojových textů programů. Příklady: sférické Besselovy funkce, algebraické operace s maticemi.
4. Mini-algoritmy: Hornerovo schéma. Rekurence a jejich vlastnosti. Diferenční schémata. Numerické derivování. FFT. Náhodná čísla. Prohledávání, třídění. Co nepočítat. Příklad: Legendrovy polynomy a funkce.
5. Soustavy lineárních algebraických rovnic: Podmíněnost matice. Přímé metody - Gaussova eliminace a faktorizační metody (LU rozklad). Metody pro soustavy s třídiagonální a pásovou maticí a s maticemi se speciální strukturou. Iterační metody, metoda sdružených gradientů. Přeurčené a podurčené úlohy, metoda singulárního rozkladu. Hledání vlastních čísel matic - reálné symetrické vs. ostatní matice.
6. Aproximace a její základní aplikace: Interpolace funkce a jejích derivací (polynomiální a racionální interpolace, spliny). Metoda nejmenších čtverců. Čebyševova aproximace, ekonomizace. Řešení nelineárních rovnic (klasické metody, Newtonova metoda, kombinované metody). Příklad: Fornbergovy vzorce.
7. Numerické integrování: Newtonovy-Cotesovy integrační vzorce. Rombergova integrace. Gaussovy integrační vzorce. Příklad: násobení sférických harmonických funkcí.
8. Soustavy nelineárních algebraických rovnic: Linearizace (Newtonova metoda). Minimalizace (simplexová a Powellova metoda, metoda sdružených gradientů a proměnné metriky).
9. Obyčejné diferenciální rovnice: Úlohy s počátečními podmínkami: Vlastnosti numerického řešení (lokální a globální přesnost, konvergence, stabilita, tlumené systémy). Vlastnosti explicitních a implicitních schémat (Eulerovo schéma). Rungovy-Kuttovy metody (klasické
2. a
4. řádu, varianty s adaptivním krokem a pro úlohy s velkým tlumením). Extrapolační metody. Vícekrokové metody. Okrajové úlohy: převod na úlohy s počátečními podmínkami, metoda střelby, metoda sítí, variační metody. Systémy diferenciálních a algebraických rovnic. Příklady: Adamsova-Williamsova rovnice, vlastní kmity Země.
10. Parciální diferenciální rovnice: Diskretizace, diferenční schémata, vlastnosti, klasifikace užívaných metod. Metoda konečných diferencí (diferenční rovnice, přepis okrajových podmínek). Semidiskrétní metody (metoda přímek, Rotheova metoda). Příklady: Laplaceova rovnice, rovnice vedení tepla.
Anotace
Kurs numerických metod s důrazem na jejich implementaci ve Fortranu. Od knihoven programů přes klasické metody algebry a matematické analýzy k řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic.
Méně teorie, více praxe. Příklady geofyzikálních aplikací.