Sylabus
Doporučení: Základní kurz teorie množin.
Ordinální a kardinální aritmetika. Fundované jádro WF teorie množin, nedokazatelnost existence nedosažitelného kardinálu. Fundovaná rekurze, extenzionální a fundované relace, vety o kolapsu. Tranzitivní (vnitrní) modely, absolutnost, Lévyho princip reflexe. Univerzum L konstruovatelných množin. Platnost silného axiomu výběru a zobecněné hypotézy kontinua v L. Ultramocnina univerzální trídy (jako interpretace teorie ZFC v ZFC). Ultramocnina univerzální třídy podle míry (tj. podle měřitelného kardinálu). Elementární vnoření do tranzitivní třídy. Neexistence míry v L. Normální míra. Další vlastnosti ultramocniny. Booleovské modely: booleovské univerzum a rozšíření M[G], booleovské hodnoty formulí, generické rozšíření, věta o forcingu a generickém rozšíření. Věty o podmnožinách, kardinálech a kofinalitách v generickém rozšíření. Cantorovy algebry, bezespornost ZFC + negace hypotézy kontinua. Bezespornost ZFC + #konstruovatelné omega 1 je spočetné\". Elementární vnoření a reflexe v teorii ZFS* = ZFC - axiom regularity + axiom silného výběru + axiom superuniverzality. Nestandardní pojmy a principy. Aplikace: nestandardní analýza, topologie, teorie míry. Princip kompaktnosti, ramseyovská kombinatorika. Bezespornost teorie ZFS* a její další vlastnosti.
Anotace
Obsahem přednášky je výklad jak "klasické" (Zermelo-Fraenkelovy) teorie množin, tak i "neregulární" a nestandardní teorie množin. V prvém případě jde zejména o studium vnitřních modelů či interpretací, jakými jsou třída L konstruovatelných množin, ultramocnina univerzální třídy a generické rozšíření.
Ve druhém se konstruuje netriviální elementární vnoření neregulárního univerza do transitivní třídy, na základě čehož jsou vyloženy nestandardní pojmy, principy a jejich některé aplikace.