Sylabus
1. Základy hladkých variet: definice, příklady. Definice Lieovy grupy a příklady Lieových grup:
GL(n,F), SL(n,F), O(n,F), SO(n,F), U(n), SU(n), T^n (torus), R^n, F = R nebo C, - použití věty o implicitních funkcích (pro R^n, hladké variety a pro Lieovy grupy). 2. Borelovy a Haarovy míry: Definice a příklady. Grupa symetrií tzv. afinní přímky a její levá a pravá Haarova míra, GL(n,R) a její oboustranná Haarova míra. Weilova věta o Haarově míře (bez důkazu, event. důkaz pro Lieovy grupy). Haarova míra pro kompaktní grupu a abelovskou grupu je levá i pravá. 3. Reprezentace Lieových grup: podreprezentece, ireducibilita, unitarizovatelnost a uplná rozložitelnost pro reprezentace kompaktních grup na Hilbertových prostorech. Schurovo lemma o ekvivariantních zobrazeních a reprezentace komutativních grup - oboje na konečně rozměrných prostorech. Asociované reprezentace: restrikce reprezentace, (Hilbertův) součet a zúplněný tenzorový součin reprezentací. 4. a) Reprezentace S^1 (kružnice, pomoci Cauchyovy funkcionalní rovnice f(x+y) = f(x) + f(y) na R), celých čisel Z, a realných čísel R (a R^n). Důkaz netopologická verze Pontrjaginovy dualit pro S^1, Z a R. Souvislost Fourierových koeficentů a Fourierovy transformace hako důsledek selfduality R. 4. b) Reprezentace kompaktních Lieových grup: konečná rozměrnost ireducibilních reprezentací a Peterova--Weylova věta (bez dk) pro konečně rozměrné reprezentace.
Příklady: S^1, Z, R^n, C_n (cyklické), S_3, S_4 (permutační).
(5. Dodatek: Přehled algebraické teorie teorie reprezentací - definice Lieovy algebry, Cartanova podalgebra, kořen, pozitivní koren, jednoduchý kořen, fundamentálni vaha. Věta Cartana o klasifikaci ireducibilních reprezentací Lieových algeber. Příklad: sl(2,C) a sl(3,C).) 6. Reprezentace SU(2), tj. Spin(3) - souvislé dvojité nakrytí SO(3), a grupy O(n). Harmonické polynomy.
(7. Speciální funkce: zejména Besselovy fce 1. druhu a Legendreovy funkce, systematické pojetí: speciální funkce jako tzv. maticové koeficienty reprezentací.) 8. Super-vektorové prostory, super-algebry, Lieovy super-algebry. Příklady: Grassmannova algbera, gl(m|n), osp(m|n).
(Stručný přehled Kacovy klasifikace jednoduchých Lieových super-algeber.) 9. Reprezentace Heisenbergovy grupy: Stoneova--Neumannova věta (bez dk.), Schrödingerova reprezentace a kanonické kvantovací relace jako derivace Schroedingerovy reprezentace. (Segalova--Shaleova--Weilova reprezentace.) 10. Reprezentace polopřímých součinů abelovskych grup s grupami jednoduchými, Mackeyova věta o "malé grupě", bez důkazu. Aplikace této věty na reprezentace grupy symetrií afinní přímky a reprezentace Poincarého grupy, tj. polopřímého součinu "indefinitní ortogonální grupy" a translační R^4 (Wignerova klasifikace ireducibilních reprezentací Poincarého grupy, tj. speciálně retivistických symetrií prázdného prostoru, a tak i klasifikace částic v rámci speciálně relativistické kvantové mechaniky).
Anotace
Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky.
Probírají se pokročilé partie z teorie grup pro fyziky.