Sylabus
- Lieova grupa,homomorfismus Lieových grup, representace Lieovy grupy.
- Lieova algebra, příklady Lieových grup a algeber, homomorfismus Lieových algeber.
- Levoinvariantní vektorová pole na Lieově grupě, Lieova algebra Lieovy grupy, jednoparametrická podgrupa Lieovy grupy, zobrazení exp z Lieovy algebry do Lieovy grupy a jeho vlastnosti.
- Korespondence mezi homomorfismy Lieových grup a homomorfismy jejich Lieových algeber.
- Základní fakta o representacích Lieových grup a algeber - restrikce representace, faktorová representace, duální representace, součet a tensorový součin representací, splétající zobrazení, isomorfní representace, rozložitelné a ireducibilní representace.
- Klasifikace representací sl(2,C). Schéma klasifikace irreducibilních representací jednoduchých algeber - Cartanova podalgebra, kořeny, volba částečného uspořádání, kladné a záporné kořeny, jednoduché kořeny, váha representace, váhová mříž, Weylovy komory, dominantní váhy, fundamentální váhy.
- Klasifikace representací pro čtyři základní řady klasických (komplexních) jednoduchých algeber, konstrukce ireducibilních representací odpovídajících fundamentálním vahám, spinorové representace.
- Dynkinovy diagramy kořenových systémů, klasifikace jednoduchých (komplexních) Lieových algeber pomocí Dynkinových diagramů.
Webová Stránka: https://kulietheory.wordpress.com/
Anotace
Základní kurs teorie reprezentací, která je jednou z důležitých a mocných teorií v matematice a fyzice 20. století.
Zavádějí se pojmy Lieovy grupy, Lieovy algebry, je vyjasněn vztah mezi nimi a mezi jejich homomorfismy a reprezentacemi. Jsou uvedeny základní typy a příklady Lieových algeber (nilpotentní, řešitelné, jednoduché) a největší pozornost se věnuje reprezentacím tzv. polojednoduchých algeber. Zavádějí se pojmy Cartanovy podalgebry, vah, kořenů, jejichž pomocí se provede úplná klasifikace reprezentací i algeber samotných. Definuje se též Cliffordova algebra, spinory a Spin-grupa.