Sylabus
Základní pojmy z množinové topologie. Topologické a diferencovatelné variety, zobrazení variet.
Podvariety v euklidovském prostoru. Tečné prostory, tečné zobrazení, vektorová pole, Lieova závorka vektorových polí.
Afinní konexe na varietě jako operace derivování na vektorových polích. Levi-Civitova konexe na podvarietě v.
Paralelní přenos podél křivek a geodetické křivky -- definice a existenční věty. Exponenciální zobrazení v bodě.
Tenzorová pole torze a křivosti afinní konexe, jejich geometrický význam. Riemannova (pseudo-Riemannova) metrika, indukovaná struktura metrického prostoru.
Riemannova konexe -- existence a jednoznačnost, souvislost s~Levi-Civitovou konexí (na podvarietě v s indukovanou metrikou). Gaussova formule a její geometrická interpretace pro plochy -- Gaussova věta.
Gaussova křivost plochy. Sekcionální křivost Riemannovy variety, prostory s konstantní křivostí.
Extremální vlastnosti geodetik. Globální vlastnosti geodetik na úplné Riemannově varietě.
Anotace
Cílem předmětu je seznámit studenty s jednou ze základních technik matematické fyziky, totiž se základy pseudo-Riemannovy geometrie..