Křivky a funkční tělesa

Sylabus

1. Připomínka některých algebraických pojmů a výsledků (prvoideály, algebraické prvky, Gaussovy obory, ireducibilní prvky v R[x], kde R je Gaussův, noetherovské okruhy).

2. Maximální ideály v K[x_1,\dots,x_n] pro K komutativní těleso (ne nutně algebraicky uzavřené). Jejich popis jako prvoideálů s nenulovým průnikem s každým K[x_i]. Výklad, že pro n = 2 lze popis získat pomocí existence největších společných dělitelů v okruhu K(x)[y].

3. Struktura prvoideálů v K[x_1,x_2]. Planární afinní křivky a jejich ireducibilita. Souřadnicový okruh.

4. Afinní automorfismy K[x_1,...,x_n] a práce s nimi. Chování tečen při jejich aplikaci. Automorfismy K[x_1,x_2] indukují izomorfismy souřadnicových okruhů.

5. Funkční těleso křivky a algebraické funkční těleso. Zadání algebraického funkčního tělesa rovnicí. Použití afinních automorfismů pro nalezení jiných zadání téhož algebraického funkčního tělesa. Charakteristika algebraických prvků v algebraických funkčních tělesech (těleso konstant).

6. Diskrétní valuační obory a jejich ekvivalentní popisy. Existence valuačních oborů v tělesech. Jejich diskrétnost v algebraických funkčních tělesech. Valuace K(x). Pojem místa. Konečnost stupně místa.

7. Hladkost křivky. V hladkém K-racionálním bodě křivky je maximální ideál lokálního okruhu místem funkčního tělesa stupně jedna (konstruktivní důkaz založený na vlastnostech polynomů).

8. Weierstrassova rovnice. Jejich ekvivalence nad K. Krátké formy (ve všech charakteristikách). Izomorfismus s K(x) v případě singulárních rovnic.

9. Pojem divisoru a s ním asociovaného lineárního prostoru (zvaného též Riemann-Rochův). Hlavní divisor prvku. Stupeň kladné i záporné části hlavního divisoru transcendentního prvku x z algebraického funkčního tělesa F/K je roven [F:K(x)]. Riemannova věta a rod. Třídová (Picardova) grupa.

10. Adèle a jejich prostor. Kodimenze prostoru adèle daného divisoru a index specializace. Slabá a silná aproximační věta. Weilův diferenciál. Riemann-Rochova věta.

11. Eliptické funkční tělesa. Každé z nich indukuje Weierstrassovu rovnici. Weierstrassova rovnice popisuje eliptické funkční těleso právě když je nesingulární. Místa stupně jedna v eliptickém funkčním tělese jsou v jednoznačném vztahu s prvky Picardovy grupy i s K-racionálními body. To umožňuje přenést strukturu grupy na body křivky, a tím popsat sčítání na Weierstrassově křivce jako sečno-tečný proces.

12. Diskriminant a j-invariant Weierstrassovy křivky (rovnice). Smyklé (twisted) křivky.

13. Planární projektivní křivky. Funkční těleso homogenních polynomů ireducibilní projektivní planární křivky. Místa stupně jedna nesingulární projektivní ireducibilní planární křivky jsou v jednoznačném vztahu s K-racionálními body této křivky.

Anotace

Přednáška buduje základní pojmový aparát oboru a rozvíjí teorii křivek, jak obecně, tak speciálně nad konečnými tělesy.