Sylabus
1) Lineární algebraické grupy, klasické grupy a jejich Lieovy algebry, reálné formy komplexních algebraických grup.
2) Regulární a lokálně regulární reprezentace lineárních algebraických grup.
3) Klasifikace ireducibilních representací klasických grup pomocí nejvyšších vah, úplná rozložitelnost jejich representací.
4) Fourierova analýza na grupové algebře konečné grupy, klasifikace ireducibilních representací grupy permutací.
5) Representace asociativních algeber, věta o dvojím komutantu.
6) Klasická teorie invariantů pro GL(V), O(V) a Sp(V). Howeovy duality, Schur-Weylova dualita
6) GL, SO, Sp-invarianty a jejich kombinatorika
Anotace
Budou zkoumány invarianty akcí klasických grup. Půjde především akce, jenž jsou indukovány reprezentacemi příslušných grup na vektorových prostorech.
Invariantem v tomuo užším konextu rozumíme zobrazení z vektorového prostoru do jiného vektorového prostoru. Typickými příklady jsou např. stopa endomorfizmu A z End(V) nebo determinant. V aplikacích s zaměříme především na polynomiální invarianty tzv. binárních n-ik, tedy na invaraiantní polynomy definované na prostoru polynomu P^n(C^2).
Determinant je příkladem invariantu v případě binárních kvadrik.