Sylabus
1) Univerzální obalující algebra Lieovy algebry: Věta Poincarého--Birkhoffa--Witta. Filtrace a gradace algeber. Noetherovskost univerzalních obalujících algeber. 2) Vermovy moduly: Opakování teorie reprezentací jednoduchych Lieových algeber - Cartanova podalgebra, Killingova forma, kořeny, ko-kořeny, pozitivní a jednoduché kořeny, Weylova grupa a Bruhatovo uspořádání, váhy a polomříž celočíselných nezáporných vah. Vermovy moduly - definice, váhovost, ireducibilita. Ireducibilní konečně rozměrné reprezentací pomocí faktorů Vermovych modulu. Citace věty Bernsteina--Gelfanda--Gelfanda o vztahu homomorfizmů Vermových modulů a Bruhatova uspořádání na Weylově grupě. 3) Věta Borela--Weila (popis řešení Laplaceovy rce na homogenních prostorech pro jednoduché Lieovy grupy): lokálně triviální fíbrace - vektorové, hlavní a asociované fíbrace. Holomorfní variety a holomorfní fíbrace. Vlajkové veriety - borelovská a kompaktní prezentace, příklady - sféry, projektivní prostory a grassmanniány, zejména Gr_2(4,C). Některé výsledky strukturní teorie a reprezentací jednoduchých Lieových algeber. Holomorfní sekce pro borelovské prezentace. Formulace Borelovy--Weilovy věty a její důkaz pro případ komplexního projektivního prostoru dimenze 1.
Dle časových možností: Unitární duál SL(2,R).
Anotace
Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související analýzu parciálních diferenciálních rovnic v R^n pro jiné než translační abelovskou grupu R^n. Druhá část přednášky.