Lineární algebra 2

Sylabus

Prostory se skalárním součinem:

- norma indukovaná skalárním součinem

- Pythagorova věta, Cauchyho-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost

- ortogonální a ortonormální systémy vektorů, Fourierovy koeficienty, Gramova-Schmidtova ortogonalizace

- ortogonální doplněk, ortogonální projekce

- metoda nejmenších čtverců

- ortogonální matice

Determinanty:

- základní vlastnosti determinantu

- Laplaceův rozvoj determinantu, Cramerovo pravidlo

- adjungovaná matice

- geometrická interpretace determinantu

Vlastní čísla a vlastní vektory:

- základní vlastnosti, charakteristický polynom

- Cayleyho-Hamiltonova věta

- podobnost a diagonalizovatelnost matic, spektrální rozklad, Jordanova normální forma

- symetrické matice a spektrální rozklad,

- (volitelně) matice společnice, odhad a výpočet vlastních čísel: Gerschgorinovy disky a mocninná metoda

Positivně semidefinitní a positivně definitní matice:

- charakterizace a vlastnosti

- metody na testování: rekurentní vzoreček, Choleského rozklad, Gaussova eliminace, Sylvestrovo kriterium

- vztah se skalárním součinem

Bilineární a kvadratické formy:

- maticové vyjádření, vliv změny báze na matici

- Sylvestrův zákon setrvačnosti, diagonalizace, polární báze

Rozšiřující témata (volitelně):

- vlastní čísla nezáporných matic

- maticové rozklady: Householderova transformace, QR, SVD, Mooreova-Penroseova pseudoinverze matice

Anotace

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, aplikace lineární algebry.