Sylabus
1. Podmíněná střední hodnota vůči sigma-algebře, náhodný proces, konečně-rozměrná rozdělení, Daniellova-Kolmogorovova a Kolmogorovova-Čencovova věta.
2. Martingaly, definice sub- a supermartingalu, filtrace, základní příklady. Markovské časy a časy prvního vstupu náhodného procesu do podmnožiny stavového prostoru. Maximální nerovnosti, Doobův-Meyerův rozklad.
3. Kvadratická variace martingalu, Wienerův proces a jeho základní vlastnosti.
4. Stochastický integrál vůči Wienerovu procesu, definice a základní vlastnosti. Stochastický diferenciál a Itoova formule - příklady.
5. Stochastický integrál vůči martingalu - úvod.
Anotace
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy teorie pravděpodobnosti, užívanými ve finanční a pojistné matematice. Jedná se především o pojem obecné podmíněné střední hodnoty a diskrétního i spojitého martingalu.
Budou studovány jejich základní vlastnosti a nejdůležitější příklady, především Wienerův proces a stochastický integrál. Posluchači seznámení se základy stochastického kalkulu (Itoovo lemma).
Aparát vybudovaný v této přednášce tvoří základy pro studium stochastických modelů ve finanční a pojistných matematice.