Sylabus
*
1. Úvod Těleso komplexních čísel, zápisy komplexního čísla, operace Komplexní funkce reálné proměnné - spojitost, derivace, integrál Komplexní funkce komplexní proměnné - spojitost, derivace podle komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce - definice a příklady (polynomy, rac. funkce) *
2. Mocninné řady a elementární funkce Mocninné řady - poloměr konvergence, kruh konvergence, absolutní a lokálně stejnoměrná konvergence, derivování a integrování člen po členu Exponenciála, goniometrické a hyperbolické funkce - definice a vlastnosti Logaritmus a argument - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti, obecná mocnina - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti *
3. Křivkový integrál Křivka, cesta, integrál podél cesty, délka cesty Vlastnosti integrálu podél cesty, výpočet pomocí primitivní funkce, záměna limity a integrálu, spojitost a derivace podle parametru Charakterizace oblasti, existence primitivní funkce a integrál podél cesty Spojitá větev logaritmu holomorfní funkce podél cesty, index bodu vzhledem k cestě a jeho vlastnosti *
4. Lokální Cauchyova věta a její aplikace Cauchyova věta pro trojúhelník, hvězdovitá množina a Cauchyova věta pro ni, Cauchyův vzorec pro kruh, Cauchyův vzorec pro vyšší derivace, vyjádření mocninnou řadou, Cauchyovy odhady, Liouvilleova věta, základní věta algebry, násobnost kořenů, věta o jednoznačnosti, princip maxima modulu, Weierstrassova věta o limitě holomorfních funkcí, Morerova věta *
5. Izolované singularity, Laurentovy řady, rezidua Rozšíření o nekonečno, Riemannova sféra, stereografická projekce Izolované singularity - Casoratti-Weierstrassova věta, vlastnosti funkcí v nekonečnu Laurentovy řady - mezikruží konvergence, Laurentův rozvoj funkce holomorfní v mezikruží, vztah k izolovaným singularitám, reziduová věta, metody výpočtu reziduí Jordanovo lemma *
6. Globální Cauchyova věta a Cauchyův vzorec Řetězce, cykly, globální Cauchyova věta a vzorec
Anotace
Úvodní kurs analýzy v komplexním oboru. Povinný předmět pro bakalářské obory OM a MMIB.