Sylabus
*
1. Pojem topologického prostoru Otevřené a uzavřené množiny; vnitřek a uzávěr; systémy okolí; báze topologie, báze okolí bodů; spočetná váha a spočetný charakter, separabilita; konvergence posloupností a netů (*filtrů) a Hausdorffovy prostory (*T_0-, T_1-prostory); spojitá zobrazení; příklady metrizovatelných a nemetrizovatelných prostorů. *
2. Operace s topologickými prostory Podprostor, suma, kvocient (faktorprostor), součin; projektivní a injektivní vytváření (slabé a silné topologie); zachovávání vlastností; spočetný součin metrizovatelných ( úplně metrizovatelných, kompaktních metrizovatelných) prostorů, Hilbertova krychle. *
3. Úplně regulární prostory - vnoření do součinu intervalů Lemma o vnoření (diagonálním součinu); pojem úplné regularity a jeho zachovávání na podprostory a součiny; vnoření do Tichonovovy krychle (do součinu intervalů); vnoření separabilního metrizovatelného prostoru do Hilbertovy krychle (*metrizovatelnost T_3-prostorů se spočetnou bází). *
4. Normální prostory - rozšiřování reálných funkcí Pojem normálního prostoru a příklad metrizovatelných prostorů; *protipříklady na zachovávání na podprostor a součin; Urysohnovo lemma; Tietze-Urysohnova věta o rozšiřování; úplná regularita T_4-prostorů. *
5. Pojem kompaktního a Lindelofova prostoru Pokrývací definice; charakterizace pomocí netů (*filtrů, ultrafiltrů, ultranetů); zachovávání při spojitém zobrazení; o dědičnosti na podprostory; spočetná a sekvenciální kompaktnost; příklad metrizovatelných prostorů; nabývání extrému a omezenost reálné funkce; normalita Lindelofových prostorů; *součin Lindelofových prostorů, který není Lindelofův. *
6. Prostory spojitých funkcí na kompaktu Prostor C(K); pojmy algebry a svazu spojitých funkcí; Stone-Weierstrassova věta; důsledky. *
7. Tichonovova věta a Čech-Stoneova kompaktifikace, rozšiřování zobrazení Důkaz věty o kompaktnosti součinu; kompaktnost Tichonovovy krychle; pojem kompaktifikace; Čech-Stoneova kompaktifikace; rozšiřování spojitých zobrazení, *ultrafiltry a beta-obal N. *
8. Čechovská úplnost a Baireova věta Topologická úplnost metrizovatelných prostorů; zúplnění metrizovatelného prostoru; čechovská úplnost; příklady lokálně kompaktních a úplně metrizovatelných prostorů; Baireova věta, *uniformní prostor a jeho úplnost. *
9. Topologické grupy Pojem topologické grupy; uniformita na ní; úplná regularita.
Anotace
Základní kurs obecné topologie pro bakalářský obor Obecná matematika.
Doporučeno pro zaměření Matematická analýza.