Fraktály a chaotická dynamika

Sylabus

Fraktální geometrie: Soběpodobnost, základní konstrukce, příklady z přírody. Hausdorffova dimenze.

Iterované funkční systémy: Afinně soběpodobné množiny, systémy kontrakcí. Existence atraktoru, kolážová věta. Algoritmy na generování atraktoru, 'chaos game'. Vlastnosti atraktoru.

Iterace reálných funkcí: Bifurkační kaskáda a diagram. Li-Yorkeova věta, Šarkovského věta. Kvadratický (unimodální) případ - definice chaosu, existence chaotických zobrazení.

Iterace komplexních funkcí: Kvadratické funkce, Bernoulliho posun, tranzitivita, citlivost na počáteční podmínky. Juliovy a Fatouovy množiny. Příklady geometrie Juliových množin, základní dichotomie, Douady-Hubbardův potenciál, externí paprsky, petaly. Mandelbrotova množina, základní vlastnosti, potenciál, základy kombinatoriky Mandelbrotovy množiny. Iterace racionálních funkcí, holomorfní dynamika.

Anotace

Předmět představuje úvod do fraktální geometrie a teorie chaosu. Zkonstruujeme nejznámější druhy fraktálů a odvodíme jejich základní vlastnosti.

Klíčovým nástrojem zde bude pojem iterace. Soustředíme se na iterované funkční systémy (např.

Barnsleyho kapradina), iterace reálných funkcí (Feigenbaumova univerzalita) a iterace komplexních funkcí (Mandelbrotova a Juliovy množiny). Předmět je přístupný širšímu okruhu zájemců jak z matematiky, tak i fyziky a informatiky.