Sylabus
Spojité dynamické systémy ve formě nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic (ODR) jsou jádrem matematického modelování a jsou široce používány k popisu komplikovaných situací v tak širokých oblastech, jako je biologie, fyzika, chemie, meteorologie a epidemiologie. Základní obtíží při studiu nelineárních ODR je neexistence výrazů v uzavřeném tvaru pro nelineární rovnice, což téměř nevyhnutelně nutí vědce používat ke studiu modelů numerické metody. Tradičně se používá čistě matematická metoda "pero a papír" (např. funkcionální analýza, topologické metody, nelineární analýza) a počítačové nástroje se ke studiu modelů používaly odděleně. Účelem tohoto kurzu je změnit perspektivu a spojit sílu čisté a aplikované matematiky zavedením nejmodernějšího matematického aparátu, který vede k počítačem podporovaným důkazům existence dynamických objektů v ODR. Přesněji řečeno, studenti se naučí nové rigorózní výpočetní techniky k důkazu existence (konstruktivním způsobem) ustálených stavů, periodických orbit, homoklinických a heteroklinických orbit, řešení počátečních a okrajových úloh, a k rigoróznímu hledání stabilních a nestabilních variet příslušních k ustáleným stavům a periodickým orbitám. Nakonec se studenti naučí, jak dokázat existenci chaosu.
• Chapitre 1: Motivation
• Chapitre 2: Banach Spaces
• Chapitre 3: Radii Polynomial Approach on Banach Spaces
• Chapitre 4: Fundamental Results: Existence and Uniqueness
• Chapitre 5: Taylor Methods
• Chapitre 6: Periodic Orbits
• Chapitre 7: Boundary Value Problems via Fourier Series
• Chapitre 8: Initial Value Problems via Chebyshev Series
• Chapitre 9: Stable and Unstable Manifolds for Equilibria
• Chapitre 10: Linear Theory for Periodic Orbits
• Chapitre 11: Stable and Unstable Manifolds for Periodic Orbits
• Chapitre 12: Connecting Orbits
• Chapitre 13: Dynamical Aspects of ODEs
• Chapitre 14: Chaotic Dynamics
Anotace
Kurz hostujícího profesora J.-P. Lessarda.
Studenti se naučí používat nové počítačem podporované techniky k důkazu existence různých typů dynamických objektů v nelineárních spojitých dynamických systémech.