Sylabus
* Polynomy a jejich kořeny:
Polynom a polynomiální funkce, porovnání a aplikace ve školské matematice.
Tzv. základní věta algebry a její důsledky. Z_p nejsou algebraicky uzavřená - protipříklady.
Eliminace násobnosti kořenů, derivace polynomu.
Hranice rozložení kořenů polynomů. Hornerovo schéma. Lagrangeova interpolace.
* Prolegomena ke Galoisově teorii:
Řešení kvadratické a kubické rovnice různými postupy, porovnání postupů použitelných ve školské matematice. Vietovy věty.
Lagrangeova postupná symetrizace (aplikace Vietových vět, symetrických polynomů, cyklických grup, faktorizace grup permutací).
Algebraické rozšíření pole (kořenové a rozkladové pole), stupeň rozšíření, jednoduché příklady. jednoduché příklady Galoisových korespondencí.
Řešitelnost algebraické rovnice v radikálech - znění základní věty. Důkaz, že A_5 je jednoduchá.
* Konstruovatelnost pravítkem a kružítkem:
Eukleidovsky konstruovatelné body a čísla. Zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu.
Konstruovatelnost pravidelných n-úhelníků.
* Symetrické polynomy:
Jednoduché a elementární symetrické polynomy, hlavní věta o symetrických polynomech.
Diskriminant, motivace, obecná definice, výpočet pomocí determinantu, souvislosti se školskou matematikou.
* Grupy a pole - základní přehled:
Základní vlastnosti grup: grupy jednoduché, cyklické, abelovské - jednoduché příklady a souvislosti, znění věty Cauchyovy a první Sylowovy.
Prvopole, struktura konečných polí.
Zavedení komplexních čísel ve školské matematice, souvislost s Kroneckerovou větou.
Anotace
Kurzovní přednáška z algebry pro navazující magisterské učitelské studium (polynomy a jejich kořeny, Lagrangeova postupná symetrizace; přechod v algebře od hledání kořenů polynomů ke zkoumání struktur). Propojení algebraických témat se školskou matematikou (diskriminant, Vietovy věty, zavedení komplexních čísel, různé způsoby řešení kvadratické rovnice).