Sylabus
1. Pravděpodobnost a náhodná proměnná Historie teorie pravděpodobnosti. Pojem pravděpodobnosti. Paradoxy a paradigmata. Informační entropie. Strategie pravděpodobnostního popisu přírodních procesů. Ergodicita. Náhodné proměnné a jejich systémy. Korelace, limitní teorémy.
2. Stochastické procesy Náhodné (stochastické) funkce. Diskrétní Markovovy řetězce (Ehrenfestův model, větvící se procesy). Markovovské procesy se spojitým časem (Poissonův proces, alternující procesy). Procesy se spojitými realizacemi (Wienerův proces, Ornstein-Uhlenbeckův proces). Bílé šumy. Systémy náhodných bodů a procesy obnovy. Levyho procesy.
3. Teorie difúze Stochastické diferenciální rovnice. Aditivní a multiplikativní šum. Náhodná bloudění a Brownův pohyb: Einsteinův versus Langevinův přístup. Fokker-Planckova rovnice. Úloha o prvním dosažení oblasti. Difúze ve vnějším poli, v systémech s pastmi, v nehomogenním prostředí. Termální aktivace. Propagátor jako funkcionální integrál. Počítačová simulace stochastických procesů.
4. Vybrané stochastické modely ve fyzice Statické a dynamické neuspořádání. Stochastická Schrödingerova (Liouvilleova) rovnice. Rozšíření spektrálních čar. Harmonický oscilátor s modulovanou frekvencí. Stochastická resonance. Molekulární motory. Koherence světla, rovnice laseru. Šumem indukované fázové přechody. Teorie perkolací. Modely růstových procesů.
5. Vybrané aplikace mimo fyziku Evoluce populací, Verhulstův model. Genetické modely. Rychlostní rovnice reakcí. Modelovaní systémů obsluhy. Formování názoru. Šíření chorob. Hazardní hry.
Anotace
Přednáška poskytuje základy pravděpodobnostního modelování ve formě vhodné pro aplikace ve fyzice. Na fyzikálně motivovaných příkladech se diskutuje role pravděpodobnosti při popisu stavu fyzikálního systému.
Rozvíjí se pojem stochastické funkce, řeší se základní typy stochastických diferenciálních rovnic. Jsou vyloženy fyzikálně důležité příklady Markovových řetězců, renovační procesy, procesy větvení.
Přednášku uzavírá analýza Brownova pohybu.