Sylabus
Holonomní a neholonomní vazby. Vazba coby diferencovatelná varieta. Funkce a křivka na varietě, tečný a kotečný prostor, vektory a formy, tečný a kotečný bandl, fíbrované prostory. Aplikace: d'Alembertův princip a Lagrangeovy rovnice.
Fázový portrét dynamického systému, fyzikální stav a orbita vektorového pole. Konfigurační varieta Q, zobecněné souřadnice. Tečný bandl TQ coby aréna lagrangeovské mechaniky. Lagrangeova funkce, dynamické vektorové pole a jeho integrální křivky na TQ. Lieova derivace, Lieova závorka. Lagrangeovy pohybové rovnice v čistě geometrické řeči. Aplikace: zákony zachování, teorém Emmy Noetherové, kalibrační invariance.
Kotečný bandl T*Q coby aréna hamiltonovské mechaniky: fázová varieta, zobecněné souřadnice a kanonické hybnosti. Hamiltonián na T*Q jako Legendreova transformace lagrangiánu na TQ. Symplektická matice: jednotný zápis Hamiltonových kanonických rovnic a Poissonových závorek.
Geometrická struktura fázové variety. Operace s formami: vnější součin a vnější derivace. Symplektická 2-forma, T*Q coby symplektická varieta. Hamiltonovské vektorové pole, geometrická definice Poissonových závorek, hamiltonovská verze teorému Noetherové. Kanonické transformace na fázové varietě. Liouvilleova a Darbouxova věta. Hamiltonova-Jacobiho metoda. Proměnné akce-úhel a integrabilní systémy, adiabatická invariance.
Anotace
Proseminář je koncipován jako doplněk přednášky Teoretická mechanika (NOFY003). Jeho smyslem je prohloubit a rozšířit pojmy a metody analytické mechaniky. Posluchači se seznámí jak s moderními matematickými přístupy, tak s vybranými fyzikálními tématy. Jádrem semináře je zavedení a pochopení "bezsouřadnicového zápisu"
Lagrangeova a Hamiltonova formalismu v jazyce diferenciální geometrie.