Lineární algebra II

Sylabus

- Exponenciála matice. Definice, základní vlastnosti (vlastní vektory exponenciály, exponenciála podobných matic). Vztah Tr A a det exp A . Příklady .

- Pojem Lieovy algebry a příklady : g = gl, sl, o, u, su. Vztahy typu exp g = G. Izomorfismus vektorového násobení a komutování v o(3).

- Teorie nilpotentních operátorů. Ekviv. charakterizace pomocí spektra, příklady (operátory derivování na polynomech). Studium posloupnosti kořenových podprostorů k-tého řádu a alternativně k-násobných obrazů. Nezávislost vůči podprostoru. Konstrukce počátečních vektorů řetězců dávajících Jordanovu basi prostoru .

- Direktní rozklad prostoru na kořenové podprostory daného operátoru . Obecná Jordanova věta. Věta Hamilton Cayleyho. Exponenciála Jordanovy matic s použitím na řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic.

- Positivní a stochastické matice. Hledání největšího vlastního čísla iterací. Interpretace příslušného vlastního vektoru (stacionární stav systému).

- Pojem duálního prostoru, duální base, duálního operátoru, transponované matice, ontragradientní matice (přechodu duálních basí).

- Dualita a skalární součin: věta o representaci lineární formy (skalárním násobením vhodným vektorem). Pojem adjungovaného operátoru. Samoadjungované (Hermitovské), unitární, obecněji normální operátory. Adjunkce diferenciálního operátoru a metoda per partes.

- Věta o spektrálním rozkladu normálního operátoru. Příklad - operátor derivování na trigonometrických polynomech. Funkce normálního operátoru. Ortogonální polynomy (příklad : Hermitovy, Legendreovy) jako výsledek ortogonalizačního procesu ve vhodném skalárním součinu (alternativně jako vlastní vektory vhodného diferenciálního operátoru). Kreační a anihilační operátor.

- Bilineární a kvadratické formy . Diagonalizace Hermitovské formy : a) doplněním na čtverec b) Jacobi Sylvesterův zápis ortogonalizačního procesu (zvl. pro positivně definitní formy) c) diagonalizace pomocí spektrálního rozkladu representujícího operátoru formy (dávající ortog. \"hlavní osy\" formy). Signatura formy a způsoby jejího zjištování .

- Kvadriky (a kuželosečky), klasifikace a vlastnosti (omezenost, přímkové plochy, vlastnosti rovinných řezů). Zmínka o projektivním prostoru. Význam paraboloidů v analýze funkcí více proměnných (lokální extrémy, sedlové body funkcí).

- Polární rozklad obecného operátoru na kompozici unitárního a Hermitovského operátoru (resp. unitárního, diagonálního, unitárního operátoru) .

- Pseudoinverse obdélníkové matice.

- Pojem tensorového součinu vektorových prostorů, isomorfismy mezi různými definicemi, jako je formální lineární obal kartézského součinu basí, množina multilineárních funkcionálů na součinu duálů, faktorprostor formálního lineárního obalu kartézského součinu prostorů . Rozložitelné tensory. Příklady tensorů: vektory, kovektory, bilineární formy, strukturní tensor algebry, determinant jako multilineární funkce sloupců, fyzikální příklady.

- Složkový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo.

- Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů.

- Symetrické tensory, symetrizace, symetrický tensorový součin.

- Antisymetrické tensory, antisymetrizace, antisymetrický (vnější) tensorový součin, Grassmannova algebra . Vektorový součin. Měření ploch mnohoúhelníků, obecněji k-rozměrných polyedrů v n-rozměrném euklidovském prostoru. Grammova matice a Grammův determinant obdélníkové matice.kový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo.

- Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů.

- Symetrické tensory, symetrizace, symetrický tensorový součin.

Anotace

Přednáška poskytuje, spolu s paralelní přednáškou analýzy, základní matematický kurs pro studenty fyziky.

Důraz je kladen i na propojení znalostí všech těchto oboru.

Klíčová témata přednášky:

Jordanův tvar, samoadjungované operátory, kvadratické formy, tensory.