Sylabus
Tenzorový počet vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
Diferencovatelné variety základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky
Zobrazení variet a Lieova derivace zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace
Vnější kalkulus vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy
Riemannova a pseudoriemannova geometrie metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace
Kovariantní derivace paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor
Prostor kovariantních derivací pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová derivace, souřadnice kovariantní derivace, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, metrické derivace, tenzor kontorze
Levi-Civitova kovariantní derivace jednoznačnost, Christoffelovy symboly, Cartanovy rovnice struktury, symetrie tenzoru křivosti, ireducibilní části Riemanova tenzoru, Weylův tenzor, skalární křivost, Einsteinův tenzor
Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a tenzory, symetrie
Podvariety a distribuce vnořené a vložené podvariety, přizpůsobené souřadnice, tečný a normálový prostor; distribuce, podmínky integrability, Frobeniova věta
Integrování na varietách integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, hustotní duál, metrický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element
Integrální věty zobecněná Stokesova věta pro formy, normálová a tečná restrikce tenzorových hustot na podvarietu, Stokesova a Gaussova věta
Anotace
Základy topologie; diferencovatelné variety, jejich tečné prostory, vektorová a tenzorová pole; zobrazení variet, difeomorfismy, indukovaná zobrazení, Lieova derivace; vnější kalkulus; kovariantní derivace, paralelní přenos, geodetické křivky, torze a křivost, prostor konexí; (pseudo-)Riemannovy variety, metrické derivace, Levi-Civitova derivace, Killingovy vektory; integrabilita a Frobeniova věta; integrování na varietách, hustoty, integrální věty.
Přednáška je určena pro zájemce v závěru bakalářského či začátku magisterského studia.