Sylabus
Během přednášky se dozvíte,
-jak hledat bodové (zobecněné) symetrie dané diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic),
-jak využít těchto symetrií (které často tvoří Lieovu grupu) k zjednodušení dané obyčejné, či parciální diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic), případně k jejich úplnému vyřešení,
-jak nalézt zákony zachování a integrály pohybu pomocí bodových (zobecněných) symetrií Eulerových-Lagrangeových diferenciálních rovnic, které jsou zároveň symetriemi příslušného variačního funkcionálu,
-jak určit obecný tvar obecně nelineárních diferenciálních rovnic určitého řádu invariantních vůči zadané Lieově grupě symetrií.
Při výkladu těchto obecných témat se mimo jiné seznámíme s následujícími základními pojmy teorie Lieových grup transformací a jejich aplikace na diferenciální rovnice:
-jednoparametrická a r-parametrická Lieova grupa bodových transformací,
-infinitezimální transformace a infinitezimální generátor bodových transformací,
-Lieovy teorémy, Lieova algebra Lieovy grupy transformací a řešitelná Lieova algebra,
-rozšíření (prodloužení) bodových transformací a jejich infinitezimálních generátorů na prostor rozšířený o derivace závislých proměnných,
-grupa symetrie diferenciální rovnice a infinitezimální kritérium invariance diferenciální rovnice vůči Lieově grupě transformací,
-kanonické souřadnice a jejich využití k redukci, případně k nalezení řešení diferenciálních rovnic,
-diferenciální invarianty a jejich využití k redukci obyčejných diferenciálních rovnic,
-zobecněné symetrie diferenciálních rovnic,
-invariantní řešení diferenciálních rovnic, eliminace nezávislé proměnné
-variační symetrie, infinitezimální kritérium variační symetrie,
-obecné zákony zachování a jejich charakteristika, teorém Noetherové pro bodové a zobecněné symetrie
Anotace
Symetrie rovnic matematické fyziky a využití těchto symetrií při řešení rovnic. Hledání obecných diferenciálních rovnic se zadanou symetrií.
Obecné zákony zachování pro systém diferenciálních rovnic a jejich souvislost se symetriemi těchto rovnic. Vhodné pro 1. až 2. ročník nejen teoretické fyziky.