Sylabus
* Základy diferenciální geometrie
Pojem diferencovatelné variety. Funkce a křivka na varietě, tečný a kotečný prostor, vektory a formy, tečný a kotečný bandl, fíbrované prostory. Vektorové pole a jeho integrální křivky. Tok generovaný vektorovým polem, zobrazení "push-forward" a "pull-back". Lieův přenos funkce, vektoru a formy, Lieova derivace, Lieova závorka. Diferenciální 2-formy: vložení, vnější součin a vnější derivace.
* Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky
Fázový portrét dynamického systému, fyzikální stav, dynamický systém coby vektorové pole. Konfigurační varieta Q, zobecněné souřadnice. Tečný bandl TQ coby aréna lagrangeovské mechaniky. Lagrangeova funkce, dynamické vektorové pole a jeho integrální křivky na TQ. Lagrangeovy pohybové rovnice v čistě geometrické řeči. Aplikace: zákony zachování, teorém Emmy Noetherové, kalibrační invariance.
* Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky
Kotečný bandl T*Q coby aréna hamiltonovské mechaniky: fázová varieta, zobecněné souřadnice a kanonické hybnosti. Hamiltonián na T*Q jako Legendreova transformace lagrangiánu na TQ. Symplektická matice: jednotný zápis Hamiltonových kanonických rovnic a Poissonových závorek. Geometrická podoba Hamiltonových rovnic. Geometrická struktura fázové variety, symplektická 2-forma, T*Q coby symplektická varieta. Hamiltonovské vektorové pole, geometrická definice Poissonových závorek, hamiltonovská verze teorému Noetherové. Kanonické transformace na fázové varietě geometricky. Liouvilleova a Darbouxova věta.
Anotace
Proseminář je koncipován jako doplněk přednášky Teoretická mechanika (OFY003). Jeho smyslem je prohloubit a rozšířit pojmy a metody analytické mechaniky.
Posluchači se seznámí jak s moderními matematickými přístupy, tak s vybranými fyzikálními tématy. Jádrem semináře je zavedení a pochopení "bezsouřadnicového zápisu" Lagrangeova a Hamiltonova formalismu v jazyce diferenciální geometrie.