Obecná teorie relativity

Sylabus

* Úvod.

Teorie gravitace ve fyzikálním obrazu světa. Vývoj názorů na prostor, čas a gravitaci. Přehled hlavních východisek, předpovědí a aplikací obecné teorie relativity. Připomenutí formalismu ze speciální teorie relativity (přednáška OFY023).

* Výchozí principy a jejich aplikace.

Princip ekvivalence, jeho různé formulace a odpovídající experimenty. Princip obecné kovariance ('obecné relativity') a tenzorový zápis rovnic. Paralelní přenos; afinní konexe a Christoffelovy symboly. Rovnice geodetiky a její newtonovská limita. Dilatace času a frekvenční posun v gravitačním poli, newtonovská limita: statický případ a případ s obíhajícím satelitem. Kovariantní derivace: zavedení kovariantní a absolutní derivace, zápis rovnice pro paralelní přenos a rovnice geodetiky.

* Křivost.

Riemannův tenzor křivosti, jeho symetrie, geometrický a fyzikální smysl (neintegrabilita paralelního přenosu, rovnice geodetické deviace). Bianchiho identity. Ricciho tenzor a skalární křivost.

* Tenzor energie a hybnosti a zákony zachování.

Tenzor energie a hybnosti pro nabitý nekoherentní prach a (jeho) EM pole. Ideální tekutina: zákony zachování, Eulerova pohybová rovnice a rovnice kontinuity; podmínky hydrostatické rovnováhy.

* Einsteinův gravitační zákon.

Motivace. Princip jednoduchosti, princip minimální vazby. Odvození Einsteinových rovnic na základě význačnosti Riemannova tenzoru, Bianchiho identit, zákonů zachování a newtonovské limity teorie. Otázka kosmologické konstanty. Vlastnosti Einsteinových rovnic. Princip minimální vazby.

* Lieova derivace a prostoročasové symetrie

Vektorové pole a jeho tok, přirozený pojem přenášení skalárů a vektorů a jeho souřadnicové vyjádření. Lieova derivace a prostoročasové izometrie, základní vlastnosti Killingových vektorových polí.

* Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic.

Metrika pro sféricky symetrický prostoročas, Birkhoffův teorém. Základní vlastnosti Schwarzschildovy metriky, Schwarzschildova černá díra - horizont, singularita. Pohyb volných testovacích částic ve Schwarzschildově prostoročasu - konstanty pohybu, efektivní potenciály, záchyt a únik částic; porovnání s keplerovským pohybem v newtonovském centrálním gravitačním poli.

* Relativistická kosmologie.

Základní observační údaje o vesmíru jako celku - rozložení hmoty, Hubbleův vztah, reliktní záření, 'big bang'. Popis 'kosmické tekutiny', homogenita a izotropie vesmíru a zavedení synchronního souřadného systému. Prostorová geometrie na nadplochách homogenity a Friedmannova-Lemaitreova-Robertsonova-Walkerova metrika. Role látky a záření. Einsteinovy rovnice a základní kosmologické modely - kvalitativní diskuse. Friedmannovy kosmologické modely. Kosmologie v řeči 'Omega-faktorů'.

Anotace

První semestr kursu obecné relativity a jejích aplikací v astrofyzice a kosmologii. Úvod do obecné teorie relativity: princip ekvivalence a princip obecné kovariance, paralelní přenos a rovnice geodetiky, gravitační frekvenční posun; křivost, tenzor energie a hybnosti a Einsteinův gravitační zákon. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic, pojem černé díry.

Homogenní a izotropní kosmologické modely. Pro 3. roč. bakalářského studie se zaměřením na TF a AA a pro 1. roč. navazujícího magisterského studia oboru MOD.