Elementární geometrie I

🇨🇿

Předmět na Pedagogická fakulta |

O02310012

1 osoba

Sylabus

Požadavky k zápočtu: aktivní účast (80%) na cvičeních, písemná kontrolní práce

Forma zkoušky: písemná a ústní

Cíl: studium základů euklidovské geometrie především z hlediska vlastností invariantů geometrických transformací

* Obsah kurzu:

Čtyřúhelníky. Čtyřúhelníky tětivové a tečnové.

Kružnice. Mocnost bodu ke kružnici. Chordála.

Euklidovské konstrukce. Euklidovská řešitelnost konstrukční úlohy. Jiné volby konstrukčních prostředků.

Množiny bodů dané vlastnosti.

Definice a základní vlastnosti shodných zobrazení v rovině. Involuce, inverzní zobrazení.

Skládání shodných zobrazení.

Rozklad shodných zobrazení na osové souměrnosti (konstrukční postupy).

Klasifikace shodných zobrazení v rovině. Shodnosti přímé a nepřímé. Grupa shodných zobrazení.

Shodná zobrazení v prostoru.

Definice a základní vlastnosti stejnolehlosti. Dělicí poměr a jeho vlastnosti.

Skládání stejnolehlostí. Mongeova věta.

Kružnice ve stejnolehlosti.

Grupa stejnolehlostí.

Definice a základní vlastnosti podobnosti.

Rozklad přímé a nepřímé podobnosti (konstrukční postupy).

Samodružné body podobnosti (konstrukční postupy).

Klasifikace podobností v rovině. Grupa podobností.

Menelaova a Cevova věta.

Pappova věta. Dvojpoměr a jeho vlastnosti.

Kruhová inverze (pojem a základní vlastnosti, Apolloniovy úlohy).

Princip axiomatické výstavby geometrie. Kleinova definice geometrie a základní etapy fylogeneze geometrie.

Geometrické zajímavosti -fraktály, rozšíření eukl. roviny apod.

* Požadavky k zápočtu a zkoušce:

Aspoň 80% účast na cvičeních.

Aspoň 2 správně vyřešené úlohy v písemné zkoušce (3 příklady - 1 hodina) s tím, že pokud půjde o analogické úlohy k úlohám obsaženým v rozmnožených souborech úloh řešených na cvičeních, musí být úspěšnost 100%.

Seminární práce v letním semestru (rys nebo konstrukce v Cabri geometrii).

Zápočet je předpokladem ke zkoušce.

Pro úspěšnost zkoušky jsou vypsány nutné (nikoli postačující) podmínky určené výčtem vybraných vět, konstrukcí a důkazů, bez jejichž osvojení není naděje na úspěch u zkoušky.

* Nutné (nikoli postačující) podmínky ke zkoušce z EG1,2

Definice: dělicí poměr, dvojpoměr, shodné zobrazení, podobné zobrazení, stejnolehlost, kruhová inverze, inverzní zobrazení, involutorní zobrazení, grupa geometrických zobrazení, grupy shodností, Mongeova grupa, grupa podobností, samodružný bod (útvar, směr), euklidovské a neeuklidovské konstrukce, čtyřúhelníky tečnový a tětivový, Kleinovská definice geometrie (základní idea)

Věty: Mongeova o skládání stejnolehlostí, Menelaova, Cevova, Pappova,, věty o skládání shodností, stejnolehlostí a podobností, věty o rozkladu podobnosti, vlastnosti dělicího poměru, věta o euklidovské konstruovatelnosti, věty o čtyřúhelnících tečnových a tětivových, věta o počtu samodružných bodů podobnosti, věty o dělicím poměru

Konstrukce: Apolloniovy úlohy, samodružné body podobnosti, střed složené stejnolehlosti, kružnice ortogonální ke dvěma kružnicím, chordála, bod dané mocnosti ke kružnici, bod v daném dělicím poměru, obraz bodu, přímky a kružnice v kruhové inverzi, čtvrtý harmonický bod, rozklad otočení, rozklad posunutí, rozklad posunuté souměrnosti, rozklad podobnosti na stejnolehlost a shodnost

Klasifikace: shodností v rovině a prostoru (zdůvodnění počtu samodružných bodů v klasifikaci), podobností v rovině

Důkazy: k hodnocení #výborně" je předpokladem znalost všech důkazů nebo jejich myšlenkové konstrukce tak, jak byly předloženy na přednáškách

Anotace