Sylabus
Odvoďte řadu pro ln (2) a uveďte urychleně konvergující řadu pro stejné číslo.
Odvoďte řadu pro pi/4. Uveďte urychlenou řadu pro pi/4.
Odvoďte Newtonovu binomickou formuli. Uveďte řadu pro arcsin(x).
Uveďte Taylorovu formuli a odvoďte z ní řady pro sinus, kosinus, exponenciálu a ln(x).
Odvoďte součet řady převrácených druhých mocnin přirozených čísel.
Pomocí Newtonovy binomické formule vypočtěte druhou odmocninu ze 105 s přesností na 5 desetinných míst.
Odvoďte vztah pro sin(13α) pomocí Eulerovy formule.
Dokažte Taylorův vzorec pro rozvoj funkce do nekonečné řady.
Definujte pojem konvergence, divergence a oscilace nekonečné řady.
Vyslovte a dokažte srovnávací kritérium pro řady s nezápornými členy.
Vyslovte a dokažte Cauchyho limitné odmocninové kritérium konvergence.
Vyslovte a dokažte zobecněné srovnávací kritérium konvergence řady s nezápornými členy.
Vyslovte a dokažte dAlembertovo limitné podílové kritérium.
Ukažte, že řada n-(1+ε) konverguje pro libovolně malé kladné ε a diverguje pro ε záporné.
Dokažte divergenci harmonické řady přímo a také srovnáním s integrálem.
Definujte pojem absolutní a neabsolutní konvergence nekonečné řady a pojem přerovnání řad.
Dokažte, že řada vzniklá přerovnáním absolutně konvergentní řady má stejný součet jako původní řada.
Ukažte, že přerovnáním možno dát neabsolutně konvergentní řadě libovolný součet.
Dokažte základní větu algebry.
Dokažte Bolzanovu větu, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývající v koncových bodech intervalu hodnoty různých znamínek, nabývá hodnotu 0.
Dokažte Weierstrassovu větu, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá svého maxima.
Definujte pojem Riemannova integrálu.
Dokažte, že k funkci spojité na uzavřeném intervalu existuje její Riemannův integrál.
Definujte Riemannovu funkci, nespojitou v racionálních bodech a spojitou v iracionálních bodech jednotkového intervalu. Ukažte, že tato funkce je Riemannovsky integrovatelná.
Ukažte, že každá integrovatelná funkce je omezená.
Ukažte, že Riemannův integrál jako funkce horní integrační meze je primitivní funkce k podintegrální funkci. Co z toho plyne o vztahu Riemannova a Newtonova integrálu?
Vyslovte a dokažte Lagrangeovu větu o střední hodnotě.
Definujte pojem rovnoměrné spojitosti. Ukažte, že funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu také rovnoměrně spojitá.
Anotace
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy matematické analýzy (limita, spojitost, derivace), vést je k pochopení limitních přechodů jako prostředku k práci s potencionálním nekonečnem a naučit je praktickým výpočtům těchto matematických objektů a jejich využití při vyšetřování vlastností funkcí a v praktických aplikacích.