Aplikovaná matematika

Sylabus

Přednášky:

1. Matematika v ekonomické praxi: řešení problému: formulace problému, matematizace problému, rozklad problému na dílčí části. Úvod do logiky: definice pojmů, výrok, logické spojky, kvantifikátory, De Morganovy zákony.

2. Základní pojmy z teorie množin. Vennovy diagramy. Číselné množiny: reálná osa, intervaly, okolí bodu. Operace s čísly, absolutní hodnota, určování podmínek existence výrazů, základní vzorce. Zobrazení: zobrazení prosté, zobrazení na, vzájemně jednoznačné zobrazení, zobrazení inverzní.

3. Reálné funkce jedné reálné proměnné: pojem funkce, definiční obor, obor hodnot, základní vlastnosti funkcí (sudá, lichá, rostoucí, klesající, omezená, konkávní, konvexní), funkce složená, funkce inverzní. Graf funkce a jeho znázornění.

4. Přehled elementárních funkcí: konstantní funkce, lineární funkce, parabola, polynom, rovnoosá hyperbola, exponenciální funkce, logaritmická funkce.

5. Spojitost a limita funkce. Reálné funkce více proměnných.

6. Derivace: definice derivace funkce, geometrická interpretace derivace, výpočet derivace, vzorce pro výpočet derivace, derivace vyšších řádů. Funkce hladká.

7. Vyšetřování průběhu funkce pomocí derivace: určování, kdy je funkce rostoucí, klesající, konkávní, konvexní, určování lokálních extrémů a inflexních bodů, určování absolutních extrémů.

8. Úvod do integrálního počtu (jen orientačně): primitivní funkce, Newtonův určitý integrál, výpočet integrálu, přibližné metody pro výpočet určitého integrálu.

9. Posloupnosti a řady: Definice posloupnosti, aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost, limita posloupnosti, řada, součet konečné řady, konvergence, součet nekonečné řady.

10. Vektorová algebra. Definice vektoru, vektorové operace. Lineární kombinace vektorů, lineární nezávislost a lineární závislost vektorů. Vektorový modul a jeho hodnost.

11. Maticová algebra: Definice matice, maticové operace. Hodnost matice. Inverzní matice.

12. Soustavy lineárních rovnic: vektorový a maticový zápis soustavy lineárních rovnic. Řešitelnost soustavy lineárních rovnic (Frobeniova podmínka). Gaussova eliminační metoda, Jordanovo schéma. Input-output analýza.

13. Determinanty: Definice determinantu, výpočet jeho hodnoty: Sarrusovo pravidlo, rozvoj determinantu. Využití determinantů na řešení soustav lineárních rovnic (Cramerovo pravidlo).

14. Úvod co teorie grafů: Základní pojmy, popis grafu. Sestavení síťového grafu. Semináře:

1. Vstupní kontrolní testy: ověření předpokládaných znalostí a dovedností. Logické úlohy.

2. Řešení rovnic a nerovnic s absolutními hodnotami, kvadratických rovnic a nerovnic. Ekvivalentní a neekvivalentní úpravy rovnic.

3. Reálné funkce jedné reálné proměnné, určování definičního oboru a oboru hodnot. Grafické znázorňování funkcí.

4. Funkce v mikroekonomii: křivka nabídky a poptávky, nákladové funkce, produkční funkce.

5. Výpočty limit funkcí.

6. Výpočty derivací., Geometrická intepretace derivace.

7. Vyšetřování průběhu funkce včetně hrubého náčrtu jejího grafu. Výpočty intervalů, kdy je funkce rostoucí a kdy je klesající, výpočty lokálních a absolutních extrémů.

8. Využití derivací pro ekonomické výpočty: mezní náklady, mezní produkt, maximální zisk a apod. Jednoduché příklady na integraci.

9. Výpočty s posloupnostmi a řadami. Jejich užití zejména ve finanční matematice (jednoduché a složené úroční) a v časových řadách.

10. Výpočty s vektory, ekonomické aplikace: popis a řešení ekonomických situací (výrobní vektor, cenový vektor, nákladový vektor apod.).

11. Výpočty s maticemi, ekonomické aplikace: výpočet spotřeby materiálu apod.

12. Řešení soustav lineárních rovnic, ekonomické aplikace: výpočet nákladů na komponenty výroby, plánování náhradních součástek a dílů atd. Input-output analýza.

13. Výpočet hodnoty determinantu. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla, ekonomické aplikace, např. míchání směsí ze surovin apod.

14. Využití síťových grafů pro popis a řešení ekonomické situace.

Anotace

Teorie reálných funkcí jedné reálné proměnné: elementární funkce a jejich grafy, spojitost, limita, derivace, integrál. Lineární algebra: vektory, matice, determinanty, řešení soustav lineárních rovnic.

Základy teorie síťových grafů.