Abstrakt
I. Střední vzdálenost mezi dvěma body náhodně rovnoměrně vybranými z vnitřku daného konvexního mnohostěnu $K$ byla známa v exaktním tvaru pouze pro $K$ krychli (Robbinsova konstanta). Modifikace Croftonovy redukční techniky však vždy resukuje problém na konečnou sadu řešitelných dvojných integrálů. Tímto způsobem se nám podařilo odvodit exaktní střední vzdálenost pro všechny ostatní pravidelné mnohostěny (čtyřstěn, osmistěn, dvanáctistěn, dvacetistěn). Protože postup lze provést pro jakýkoli mnohostěn, střední vzdálenost je vždy vyjádřitelná v exaktním tvaru.
II. Problém středního objemu čtyřstěnu vyžaduje najít střední objem konvexního obalu čtyř bodů (které téměř jistě tvoří čtyřstěn) vybraných homogenně a nezávisle ve vnitřku $K$. V 90. letech (Buchta a Reitzner) a 00. letech (Zinani) byl užit Efronův vzorec k odvození středního objemu v případě, že $K$ byl čtyřstěn a krychle. Krátce po Vánocích 2020 jsme pomocí stejného Efronova vzorce s optimálnější parametrizací a pomocí softwaru Mathematica rozšířili výsledek pro $K$ pravidelný osmistěn. Přesná hodnota se ukázala být
$$\frac{19297\pi^2}{3843840}-\frac{6619}{184320} = 0,01363741127652417546021231532996779829323847787489528$$
V následujících měsících roku 2021 jsme také našli přesný střední objem čtyřstěnu v šesti dalších mnohostěnech: hranol, jehlan, kosodvanáctistěn, kuboktaedr, zkosený čtyřstěn a osmistěn. V naší prezentaci krátce nastíníme obecnou metodu, jak jsme k těmto výsledkům dospěli, a také stručně diskutujeme, jak bychom mohli postupovat ve vyšších dimenzích, protože Efronův vzorec tam má jednoduché zobecnění.