Abstrakt
Bisektor dvou neprázdných množin P a Q v metrickém prostoru je množina všech bodů se shodnou vzdáleností k P i Q. k-sektor vzdálenosti P a Q, kde k ≥ 2 je celé číslo, je (k-1)-tice (C1, C2, ..., Ck-1) taková, že Ci je bisektor Ci-1 a Ci+1 pro všechna i= 1, 2, ..., k-1 a C0 = P a Ck = Q. Tento pojem zavedli pro případ, kdy P a Q jsou body v rovině, Asano, Matoušek a Tokuyama.
Dokázali existenci a jednoznačnost trisektorů vzdáleností v tomto speciálním případě. Dokážeme existenci k-sektorů pro všechna k a pro každé dvě disjunktní, neprázdné a uzavřené množiny P a Q v Euklidovských prostorech jakékoli (konečné) dimenze.
Jádro důkazu spočívá v novém pojmu k-gradace pro P a Q, jejíž existenci dokážeme pomocí Knasterovy-Tarského věty o pevném bodě metodou, kterou zavedli Reem a Reich.