Abstrakt
Eberhard dokázal, že pro každou posloupnost $(p_k), 3\le k\le r, k\ne 6$ přirozených čísel splňující Eulesovu formuli $\sum_{k\ge3} (6-k) p_k = 12$, existuje nekonečně mnoho hodnot $p_6$ pro které existuje konvexní mnohostěn, jenž má přesně $p_k$ stěn velikosti $k$ pro všechna $k\ge 3$ (přičemž $p_k=0$ pro $k>r$. V článku dokazujeme podobný výsledek, kde přirozená čísla $p_k$ jsou dána pro $3 \le k \le r$ s výjimkou $k=5$ a $k=7$ (avšak včetně $p_6$).
Dokazujeme, že existuje nekonečně mnoho hodnot $p_5$, $p_7$ pro něž existuje konvexní mnohostěn s přesně $p_k$ stěnami velikosti $k$ pro všechna $k\ge 3$. Odvodíme rozšíření pro libovolné povrchy, získáme přitom grafy s libovolně vysokou stěnovou šířkou.
Náš důkaz nabízí obecnou metodu pro získání výsledků tohoto typu.